RAN - Fu"sball einmal anders RAN - Fußball einmal anders

Mathematische Überlegungen über den Fußball zum
Mathematischen Tag
am Gymnasium Hechingen









Alois Temmel
Gymnasium Hechingen
Heiligkreuzstr. 18
72379 Hechingen



28. September 2000

© 2000, A. Temmel

Contents

1  Einleitung
2  Was hat ein Fußball mit Mathematik zu tun?
3  Der Fußball als Polyeder
4  Die Eulersche Polyederformel
    4.1  Was besagt die Polyederformel?
    4.2  Der Beweis
5  Die fünf Platonischen Körper

1  Einleitung

Es geht in dieser Abhandlung nicht darum festzustellen, wer Tabellenführer wird oder welche Mannschaft absteigen wird, sondern um das Objekt ,,Fußball'' selbst. Natürlich soll heute, am Mathematischen Tag des Gymnasiums Hechingen dieses Objekt ,,Fußball'' unter mathematischen Gesichtspunkten genauer betrachtet werden und so mathematische Einsichten über diesen Körper gewonnen werden. Aber was hat ein Fußball mit Mathematik zu tun?

2  Was hat ein Fußball mit Mathematik zu tun?

,,Der Ball ist rund.'' sagte schon der Alt-Bundestrainer Sepp Herberger. Ganz so einfach ist die mathematische Beschreibung eines Fußballs jedoch nicht, denn seine Oberfläche ist sicher nicht so glatt wie die einer idealen Kugel. Vielmehr ist sie aus einzelnen Flächenteilen zusammengesetzt. Solche Körper, deren Oberfläche aus mehreren Flächenteilen besteht, heißen in der Mathematik auch Polyeder (zu deutsch: Vielflächner). Die folgende Figur zeigt ein beliebiges Polyeder:
Polyeder

Weiter stellt man fest, dass es sich bei den Flächen des Fußballs nicht um beliebige Flächenteile handelt, sondern dass die Oberfläche aus regelmäßigen Fünfecken und Sechsecken besteht. Da drängt sich einem (zumindest als Mathematiker) sofort die Frage auf: ,, Wieviele Fünfecke und Sechsecke hat der Fußball? '' Diese Frage ist natürlich, sofern man einen Fußball zu Hand hat, durch Abzählen leicht zu beantworten. Allerdings sollte man hierzu den Fußball ,,geschickt'' in die Hand nehmen (vgl. [2]). Die Ergebnisse des Abzählens sind in folgender Tabelle zusammengefasst:



Anzahl der Fünfecke: 12
Anzahl der Sechsecke: 20
Anzahl der Sechsecke, 5
die an ein Fünfeck
angrenzen:
Anzahl der Fünfecke, 3
die an ein Sechseck
angrenzen:



In der Sprache der Mathematiker heißt der Fußball Ikosaederstumpf. Er ist dadurch ausgezeichnet, dass er einerseits relativ rund ist und andererseits aus vergleichsweise wenig Stücken zusammengesetzt werden kann.

3  Der Fußball als Polyeder

Betrachtet man die Ecken des Fußballs, so stellt man fest, dass an jeder Ecke zwei Sechsecke und ein Fünfeck zusammentreffen. Aber wieviele Ecken hat der Fußball? Abzählen wird hier schon sehr mühselig. Doch eine kleine Überlegung hilft weiter: Jede Ecke hängt an einem Fünfeck und keine zwei Fünfecke haben eine Ecke gemeinsam. Also ist die Anzahl E der Ecken gleich der Anzahl der Fünfecke mal 5:
E = 12 ·5 = 60     .

Von dem Polyeder Fußball kennt man jetzt also die Anzahl E der Ecken und die Anzahl F der Flächen, nämlich 12 Fünfecke und 20 Sechsecke:
F = 32     .

Bleibt noch die Frage: Wieviele Kanten hat der Fußball? Jedes Fünfeck hat 5 Kanten. Also hat man auf jeden Fall mindestens 12 ·5 = 60 Kanten. Jedes Sechseck hat 6 Kanten. Also kommen noch 20 ·6 = 120 Kanten hinzu. Allerdings muss man noch berücksichtigen, dass jede Kante genau zwei Flächen begrenzt, sodass man in obiger Überlegung jede Kante doppelt gezählt hat. Damit ergibt sich für die Anzahl K der Kanten:
K = (12 ·5 + 20 ·6)
2
= 180
2
= 90     .

4  Die Eulersche Polyederformel

4.1  Was besagt die Polyederformel?

Man hätte die Anzahl K der Kanten auch mit der einfachen Rechnung
60+32-2 = 90
(1)
berechnen können. Doch dies erschiene so, als ob man das Quadrat von 7 (72 = 7·7) mit der Rechnung 5·10 - 1 berechnen würde. Aber die beiden Rechnungen ,,7·7'' und ,,5 ·10 -1'' haben, außer dem selben Zahlenwert als Ergebnis, nichts miteinander zu tun. Anders verhält es sich bei der Rechnung (1). Sie folgt nämlich aus der sogenannten Eulerschen1 Polyederformel.

Eulersche Polyederformel:
Für jedes einfache Polyeder gilt
E-K+F = 2     ,
(2)
wobei E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen bezeichnet.

Ein Polyeder heißt einfach, wenn es keine Löcher hat, so dass also seine Oberfläche sich stetig in eine Kugelfläche deformieren lässt. Schwimmringförmige (torusförmige) Polyeder sind also z.B. ausgeschlossen.

4.2  Der Beweis

(vgl. [1])
Um die Eulersche Polyederformel zu beweisen, stellt man sich vor, dass das gegebene einfache Polyeder hohl ist und die Oberfläche aus Gummihaut besteht. Wenn man dann eine Fläche des hohlen Polyeders herausschneidet, kann man die übrige Oberfläche so stark deformieren, dass sie schließlich flach in der Ebene liegt. Zwar haben sich dabei die Flächen und die Winkel zwischen den Kanten verändert, aber das ebene Netz der Ecken und Kanten enthält genau dieselbe Anzahl von Ecken und Kanten wie das ursprüngliche Polyeder, während die Zahl der Flächen um 1 kleiner ist, da ja eine Fläche weggeschnitten wurde.
Polyeder

Man kann nun zeigen, dass für das ebene Netz die Formel
E-K+F = 1
(3)
gilt, sodass, wenn die herausgeschnittene Fläche mitgezählt wird, E-K+F = 2 für das ursprüngliche Polyeder gilt.

Polyedersatz für ebene Netze:
Für jedes ebene Netz gilt
E-K+F = 1     .
(4)
Polyeder

Beweis:
(vgl. [3])

Polyeder

  1. Man beginnt mit dem denkbar einfachsten Netz, nämlich einer einzigen Ecke. Für dieses Netz stimmt die Formel:
    E-K+F = 1-0+0 = 1     .

  2. Nun überlegt man sich, was passiert, wenn man eine neue Kante hinzufügt. Man muss zwei Fälle unterscheiden:

    1. Eine bereits vorhandene Ecke wird durch die Kante mit sich selbst verbunden bzw., falls das Netz schon aus mehreren Ecken und Kanten besteht, zwei bereits vorhandene Ecken werden miteinander Verbunden.

      Dadurch entsteht aber neben der zusätzlichen Kante auch eine neue Fläche. Die Netzformel bleibt also wahr, weil eine neue Fläche (+1) die neue Kante (-1) ausgleicht.

    2. Eine bereits vorhandene Ecke wird durch eine neue Kante mit einer neuen Ecke verbunden:

      Wiederum bleibt die Polyederformel gültig, weil diesmal die neue Ecke (+1) die neue Kante (-1) ausgleicht und dabei keine neuen Flächen entstehen.

Damit ist die Eulersche Polyederformel für jedes beliebige Polyeder bewiesen.

Es sei noch angemerkt, dass es sich bei diesem Beweisverfahren um eine vollständige Induktion (vgl. [4]) nach der Anzahl der Kanten handelt.

5  Die fünf Platonischen Körper

Der Fußball ist ein Polyeder, das von regelmäßigen Vielecken (Polygonen) begrenzt wird, und zwar so, dass es von jeder Ecke und von jeder Kante gleich aussieht. Schon Archimedes2 hat vor über 2000 Jahren Körper mit dieser Eigenschaft betrachtet, so dass sie auch archimedische Körper genannt werden. Unter ihnen sind auch die fünf Platonischen3 Körper: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Sie haben die Eigenschaft, dass es eine natürliche Zahl n gibt, sodass jede Seite ein regelmäßiges n-Eck ist.

Tetraeder: n = 3
Würfel: n = 4
Oktaeder: n = 3
Dodekaeder: n = 5
Ikosaeder: n = 3
Polyeder

Polyeder Polyeder

Polyeder Polyeder

Mit Hilfe der Eulerschen Polyederformel kann man beweisen, dass es nicht mehr als 5 Platonische Körper gibt. Dazu nimmt man an, ein Platonischer Körper habe F Flächen, deren jede ein regelmäßiges n-Eck ist, und an jeder Ecke treffen r Kanten zusammen.

F = Anzahl der Flächen
n = Anzahl der Ecken einer Fläche als regelmäßiges n-Eck
r = Anzahl der Kanten, die an einer Ecke des Körpers zusammentreffen

Zählt man einerseits die Kanten nach den Flächen ab, so gilt
n ·F = 2K     ,
(5)
da jede Kante zu zwei Flächen gehört und daher im Produkt n·F doppelt gezählt wird.

Zählt man die Kanten andererseits nach den Ecken ab, so gilt
r ·E = 2K     ,
(6)
da jede Kante zu zwei Ecken gehört. Löst man nun die Gleichungen (5) und (6) nach F bzw. E auf und setzt dies in die Eulersche Polyederformel (2) ein, so erhält man die Gleichung
2K
r
-K + 2K
n
= 2
bzw. nach Division durch 2K und anschließender Addition von [1/2]
1
r
+ 1
n
= 1
2
+ 1
K
    .
(7)
Man weiß von vorneherein, dass n 3 und r 3, da ein n-Eck mindestens drei Seiten haben muss und an jedem Polyedereckpunkt mindestens drei Kanten zusammentreffen müssen.
Aber n und r können nicht beide größer als drei sein, denn dann könnte die linke Seite von Gleichung (7) nicht größer als [1/2] sein, was jedoch bei jedem positiven Wert von K der Fall sein muss. ([1/4]+[1/4] = [1/2])
Also braucht man nur zu untersuchen, welche Werte r annehmen kann, wenn n = 3 ist und welche Werte n annehmen kann, wenn r = 3 ist.

Für n = 3 geht Gleichung (7) über in
1
r
+ 1
3
= 1
2
+ 1
K
    bzw.     1
r
- 1
6
= 1
K
    .
r kann also gleich 3; 4 oder 5 sein. 6 und jede größere Zahl ist ausgeschlossen, da [1/K] immer positiv sein muss. Für r = 3 erhält man
1
3
- 1
6
= 1
K
    bzw.     K = 6     .
Dies entspricht dem Tetraeder. Ebenso erhält man für r = 4 bzw. r = 5 für K die Werte 12 bzw. 30, was dem Oktaeder bzw. Ikosaeder entspricht.

Für r = 3 erhält man die Gleichung
1
n
- 1
6
= 1
K
    ,
woraus sich ergibt, dass n = 3; 4 oder 5 bzw. K = 6; 12 oder 30 sein kann. Diese Werte entsprechen dem Tetraeder, dem Würfel und dem Dodekaeder.

Insgesamt hat man also damit gezeigt, dass es außer den fünf genannten Platonischen Körpern keine weiteren gibt. Also: Es gibt genau fünf Platonische Körper.

References

[1]
R. Courant - H. Robbins; ,,Was ist Mathematik''; Springer-Verlag; 2. deutsche Ausgabe 1966; Kapitel 5, § 1. Die Eulersche Polyederformel

[2]
A. Beutelspacher;,,In Mathe war ich immer schlecht ...''; Vieweg-Verlag 1996; S. 71 ff

[3]
S. Shing; ,,Fermats letzter Satz''; dtv; 4. Auflage 2000; S. 104 ff

[4]
Lambacher Schweizer; ,,Analysis Eins''; Ernst Klett Schulbuchverlag 1990; S. 183 ff


Footnotes:

1Leonhard Euler: schweizer Mathematiker; 1707 - 1783

2Archimedes: griech. Mathematiker; 427 - 347 v.Chr.

3Platon: griech. Philosoph; 427 - 347 v.Chr.


File translated from TEX by TTH, version 2.60.
On 2 Oct 2000, 11:00.